Pour commencer, voici un rappel du sujet :

Trois amis refont le monde à une terrasse de café à Paris. Ils ont bu chacun un diabolo menthe et l'addition s'élève donc à 30 euros. Chacun des trois comparses paie dûment sa part de 10 euros au garçon. Mais le patron, de bonne humeur, accorde une remise de 5 euros sur l'addition, 5 euros qu'il rend donc au garçon. La garçon, décide de ne rendre qu'un euro à chacun des clients et conserve donc deux euros pour lui. La question est la suivante : chacun des clients a payé 10 euros moins l'euro qu'il a récupéré. Cela fait donc 27 euros en tout, auxquels on peut ajouter les deux euros que le garçon a conservé pour compléter la note initiale de 30 euros. Raté, cela fait 29 ! Que s'est-il passé ? 

— Moroh

La réponse, comme vous vous en doutez, est qu'on somme des montants qui ne devraient pas se trouver ensemble. Cela se comprend mieux en changeant un peu les sommes. Imaginons que le garçon soit un véritable rat et qu'il ne rende qu'un seul centime à l'ensemble des clients. Les clients auraient payé 29,99€ auxquels on chercherait à ajouter le pourboire du garçon de 4,99€. Cette fois-ci il ne manquerait plus un euro, on dépasserait carrément de 4,98€ la note initiale. Comme les banques n'utilisent pas cette méthode pour la création monétaire, c'est qu'il y a anguille sous roche.

En effet, il faudrait plutôt raisonner ainsi : les client ont payé effectivement 27 euros auxquels on ajoute les 3 euros qui leur ont été rendus pour former la note initiale de 30 euros(1). Une méthode sûre pour éviter de se tromper est de visualiser les flux monétaires du problème. Pour comprendre le schéma, une flèche correspond à un transfert d'argent. Pour un portefeuille donné, la somme est négative si la flèche sort et positive si le flèche entre dans le portefeuille. On dira donc que l'on « paye » une somme positive si une flèche de ce montant « sort ». Cela correspond donc à un montant négatif pour le portefeuille. C'est un simple bilan, facile !

Description des flux monétaires de l'énigme.

La somme des flux entrants et sortants des clients donne la note effectivement payée (-30 + 3 = -27 euros pour le compte clients). La même chose concernant le patron donne l'argent qu'il a reçu (30 – 5 = +25 euros pour le compte du patron). La somme des flux sur le garçon donne sa balance (+2 euros de pourboire)(2). Vouloir, comme dans l'énigme, sommer l'argent payé par les clients et l'argent gardé par le garçon n'a aucun sens. En effet, on somme l'ensemble des flux du garçon (+2 euros) exception faite du flux client-vers-garçon (27€) qu'on décide magiquement de sommer une seconde fois (+2 +27 euros), pour obtenir un nombre qui n'a donc qu'une signification magique(3).

Afin d'éviter de faire des bêtises, il faut bien garder à l'esprit la définition des sommes qu'on cherche à exprimer. Ces définitions permettent d'en déduire des moyens alternatifs pour les calculer.

Ainsi la « somme effectivement payée par les clients » correspond à la somme des flux par rapport aux clients (-30+3 = -27, leur portefeuille a bien été retranché de 27 euros).

La « somme conservée par le garçon » est l'ensemble des flux sur le garçon (côté client (+30-3) + côté patron (-30+5) = +2).

Enfin, la « note initiale » ou « note avant remise », celle dont on cherche une méthode alternative de calcul dans l'énigme, correspond du point de vue du client à l'inverse de leur flux initial (ce qu'ils ont payé avant la remise, soit 30 euros). Or on a parfaitement le droit de faire un calcul alternatif en disant qu'un flux en particulier (-30 euros) est égal à la somme de tous les flux (-30 + 3 = -27) retranché de tous les autres flux (- +3)(4). On retrouve alors le calcul correct annoncé plus haut : la note initiale vaut (-27 -3) = -30 euros, les clients auraient dû payer 30 euros et cela correspond aux 27 euros payés additionnés aux 3 euros rendus).

J'espère ne pas avoir perdu tout le monde avec cette démonstration pompeuse. Pour la méthode pratique que j'ai utilisée au début, cela consiste à remplacer les sommes parfois proches par des montants très différents les uns des autres. On repère alors plus naturellement les problèmes par des incohérences d'ordre de grandeur. En poussant le principe jusqu'au bout, on ne traite même plus de chiffres mais de « quantités ». On a alors les clients qui doivent « une grosse somme », le patron rend une « somme moyenne », que le garçon cherche à conserver en ne rendant qu'un « pouillème ». Ainsi, les clients ont payé légèrement moins que la grosse somme. La note initiale valant ce qu'ils ont payé effectivement plus le pouillème. Dans l'énigme, on cherche à additionner le « légèrement moins gros » avec le « moyen », ce qui donne comme prévu une somme sensiblement plus grosse qui ne correspond à rien.

(1) ↑ Dans le second cas, ils ont payés 29,99€ auxquels ont peut ajouter le centime que le garçon leur a consenti.
(2) ↑ On remarque que d'un point de vue global, tout s'annule -27 + 2 + 25 = 0. On ne fait aucune création monétaire !
(3) ↑ En tout cas certainement pas la signification qu'on cherche à lui donner de « note initiale sans remise »
(4) ↑ C'est une équation du premier degré : si (a + b = c) alors (a = c – b). Ici a=-30 b=+3 et c=-27

Au cours d'un dîner mondain, lorsque toute la courtoisie du monde ne suffit plus à éviter un silence, plutôt que de lire l'étiquette de la bouteille de vin, opposez donc cette simple question à la sagacité de vos comparses :

Pourquoi le miroir inverse-t-il la droite et la gauche… mais pas le haut et le bas ? 

Effet garanti ! Aussi sûrement que l'énigme du garçon de café, vous aurez le droit à toutes sortes d'explications farfelues. Mais attention, si personne ne trouve d'explication valable, vos compagnons vont bien finir par se retourner vers vous. Il faudra alors être fort pour convaincre, parce que l'explication n'est pas facile.

Pour comprendre, il faut savoir que la gauche et la droite ne sont pas véritablement des directions comme peuvent l'être le haut et le bas. En effet, le haut et le bas sont des directions plutôt absolues, sur lesquelles dans une certaine mesure on est tous d'accord. Alors que la gauche et la droite sont des directions relatives. On a tous sa gauche et sa droite. Et croyez-moi, cela complique beaucoup les choses(1).

Ainsi, pour définir une direction comme le haut, il suffit d'un vecteur (deux points et un sens) : le haut, c'est de la Terre vers le ciel. Alors que pour définir la droite, il faut faire intervenir plus. Par exemple, il faut une direction supplémentaire ainsi qu'un sens de rotation : la droite, c'est un quart de tour horaire autour du haut par rapport à devant. Pour en revenir à la géométrie, dans un repère classique où le haut est le vecteur z et où on regarde vers le vecteur y, la droite est vers le vecteur x.

Repère cartésien direct en trois dimensions.

De l'autre côté, nous avons la transformation du miroir. Il effectue ce que l'on appelle une symétrie par rapport à un plan. C'est à dire qu'il inverse une seule direction (celle qui lui est perpendiculaire) en conservant tout le reste inchangé. Ainsi, en n'inversant qu'une unique direction dans une définition de la gauche et la droite qui en fait intervenir plusieurs, on comprend que ça chamboule un peu les choses. Le problème, c'est que la symétrie si facile à comprendre abstraitement à l'école est en fait beaucoup plus difficile à appréhender dans le monde réel.

Pour donner un point de vue moins abstrait, on peut dire que la symétrie planaire revient à « retrousser » entièrement le monde comme un gant à travers le miroir(2). Comme pour un gant qui n'a pas d'axe de symétrie, le monde retroussé n'est plus supperposable à son image dans le miroir. Dans ce monde totalement différent du nôtre qui a subi la transformation bizarre du retroussage, la gauche et la droite ne sont pas vraiment inversées : la main droite, celle qui ne porte pas de montre est bien toujours du côté où l'on visse. Il suffit d'observer attentivement son image dans un miroir pour s'en rendre compte.

Notre illusion d'inversion vient d'une erreur de notre cerveau qui n'interprète pas correctement ce qu'il voit dans le miroir, petit naïf qu'il est. Ainsi, il a l'impression que notre image, en face de nous là devant nos yeux, nous ressemble quand même vachement. Donc il se dit que c'est comme si on se voyait soi-même ayant fait un pas en avant et s'étant retourné. Or c'est faux, le cerveau oublie la composante retroussage parce que c'est une notion difficile à appréhender(3). Quand on lève sa main droite, l'image dans le miroir lève aussi sa main droite. On a l'impression qu'elle se situe à gauche parce que nos repères pour déterminer la gauche et la droite ne s'appliquent pas dans le monde du miroir. Alors qu'à l'inverse, nos repères pour déterminer le haut et le bas sont parfaitement transposables. Notre cerveau repère très bien les cheveux (ou le crâne luisant) et même sans ressentir les odeurs à travers le miroir, on sait repérer les pieds. C'est pourquoi on a l'impression que tout se passe bien pour le haut et le bas, que le miroir soit sur un mur, au plafond, ou dans n'importe quelle position(4).

Par ailleurs, aucun doute que cet omnilogisme aurait été plus facile à rédiger si nous étions un peu moins symétriques. Par exemple, imaginons que l'humain ne soit que la partie droite de l'humain actuel. L'homme est coupé en deux de la tête au scrotum. J'ai besoin ici que vous imaginiez vraiment ce monde, en plus c'est un peu drôle. Tout le monde n'est qu'une partie droite : un bras, une jambe. C'est un peu dur de marcher mais en contrepartie on a l'air super cool quand on se repose sur un mur. Là, on se pomponne pour une soirée et en se regardant dans la glace on voit quelque chose qui ne nous ressemble pas du tout : une sorte d'alien partie gauche. Dans ce monde, l'énigme du miroir n'existe pas : l'image miroir ne lève pas sa main soi-disant gauche quand on lève notre main droite, elle lève simplement sa main.

Voilà je l'espère, une réponse satisfaisante à la question du miroir : la question est mal posée(5) parce que la gauche et la droite sont des notions fondamentalement différentes du haut et du bas. En n'inversant qu'une seule direction, on inverse forcément les sens de rotation par rapport au repère initial donc la gauche et la droite et ce, quel que soit le point de vue (translation, rotation) que l'on adopte. Cependant, le haut et le bas ne sont inversés ou non qu'en fonction de la position du miroir et de notre volonté de changer ou non de point de vue.

(1) ↑ C'est pour ça que les enfants ont parfois du mal à apprendre à distinguer la gauche de la droite alors que le haut et le bas ne posent généralement aucun souci.
(2) ↑ Splash ! Des sacs à vomi sont disponibles dans les casiers sous vos jambes.
(3) ↑ Difficile parce qu'on ne peut pas s'en sortir en changeant simplement de point de vue (translation, rotation). Il faut vraiment tenter d'imaginer un retroussage.
(4) ↑ En supposant qu'on sache un peu se repérer dans l'espace.
(5) ↑ Ha ! Petits souvenirs des cours de philosophie.

Le pouvoir de pouvoir comprendre

Illustration pour le hacking
Dans la société de consommation qui nous entoure, le modèle économique nous a menés à utiliser les objets comme « jetables », c'est-à-dire dont la seule et unique fonction est d'être utilisée jusqu'à sa fin de vie matérielle ou son obsolescence, éventuellement prévue par le fabricant.
En fait, nous utilisons nos objets comme de vraies boites noires. Nous savons qu'ils se chargent de faire ce pour quoi ils ont été achetés mais nous ne savons pas comment modifier une de ses fonctions, l'améliorer ou encore le dépanner. Lors d'un dépannage, justement, on nous force à contacter un SAV ou bien directement racheter l'objet, ce qui revient bien souvent au même au final, malheureusement, car les réparateurs disparaissent. En effet, il est toujours moins couteux de faire fabriquer par des enfants en Chine notre matériel puis de l'expédier par cargo plutôt que de former des gens en France à le réparer.

Pourtant nous avons, avec l'internet, une potentielle base de connaissance énorme, qui serait, à l'instar de ce qu'on trouve pour les logiciels, propre à chaque symptôme constaté.
En attendant cet idéal, reprenez vos appareils défectueux ou que vous avez jugé trop vieux que vous alliez envoyer à la décharge, et parez-vous d'un tournevis, d'un multimètre, et puis amusez-vous, tout en comprenant !

Regardez comment tout cela fonctionne lorsque la boite noire est ouverte. Vous n'avez rien à perdre de toute manière¹, alors encore une fois, have fun ! En revanche, vous avez tout à gagner, car ce petit pas mène vers le hack général et vous finirez sans doute dans un hacklab avec des gens géniaux ou dans un article de Korben qui vous présentera comme un génie pour avoir la bonne idée que vous avez concrétisé avec votre savoir faire.

Et si vous avez ouvert votre objet et que vous cherchez des ressources théoriques ou techniques, un moteur de recherche est très utile dans ces cas là, tout comme des sites du style Instructables, HowStuffWorks, etc.

Allez, bon hacking !

¹ Euh, par contre, n'allez pas vous électrocuter avec du 220 volts, ou alors signez-moi une décharge comme quoi je ne suis pas responsable, merci.